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どちらが大きい?

Twitterで,{ e^\pi }{ \pi^e }はどっちが大きいか,という問題を見かけたので,少し派生させて次のような問題をアンケートしてみました.

 どちらの問題も考え方は同じで,函数{f(x)=\frac{log(x)}{x}}について考えてあげればよい(真数条件より,{x \gt 0}).この函数がどこから出てきたかというと,仮に,{999^{1000} \lt 1000^{999}}としたとき,変形により,

{\frac{\log{999}}{999} \lt \frac{\log{1000}}{1000}}

となることに由る.さて,函数{f(x)=\frac{log(x)}{x}}の挙動を知るために,両辺をxについて微分してあげると,

{f'(x) = \frac{1-\log(x)}{x^2}}

となります.符号の変化し得る分子に着目して,{y = 1}{y = \log(x)}のグラフを描くと明らかなように,函数{f(x)}は,

{0 \lt x \lt e}の範囲で単調増加

{e \leq x}の範囲で単調減少

する.いま,{e \leq 999 \lt1000}より,{f(999) \gt f(1000)} すなわち,

{999^{1000} \gt 1000^{999}}

となり,答えが得られた.同様にして,{ e^\pi }{ \pi^e }の大小も確認できます.