どちらが大きい?
Twitterで,とはどっちが大きいか,という問題を見かけたので,少し派生させて次のような問題をアンケートしてみました.
直感的に
— みるか (@yh_dx) 2017年1月3日
999^1000 と 1000^999
どっちが大きい?
どちらの問題も考え方は同じで,函数について考えてあげればよい(真数条件より,).この函数がどこから出てきたかというと,仮に,としたとき,変形により,
となることに由る.さて,函数の挙動を知るために,両辺をxについて微分してあげると,
となります.符号の変化し得る分子に着目して,とのグラフを描くと明らかなように,函数は,
の範囲で単調増加
の範囲で単調減少
する.いま,より, すなわち,
となり,答えが得られた.同様にして,との大小も確認できます.